Comment résoudre un Hat Trick diabolique

Cela a été un pur plaisir de faire fondre vos cerveaux chaque semaine, mais la solution d'aujourd'hui sera le dernier volet du Gizmodo Lundi Puzzle. Merci à tous ceux qui ont commenté, envoyé des courriels ou réfléchi en silence. Puisque je ne peux pas vous laisser sans rien à résoudre, découvrez quelques énigmes que j'ai créées récemment pour la newsletter Morning Brew :

J'écris aussi un série sur les curiosités mathématiques pour Scientific American, où je reprends mes idées et mes histoires préférées issues des mathématiques et les présente à un public non-mathématicien. Si vous avez apprécié l'un de mes préambules ici, je vous promets beaucoup d'intrigues là-bas.

Restez en contact avec moi sur X @JackPMurtagh alors que je continue d’essayer de faire gratter la tête à Internet.

Merci pour le plaisir,
Jack

Solution de l'énigme n°48 : Hat Trick

As-tu survécu ? les dernières semaines des cauchemars dystopiques ? Bravo à bbé pour avoir réussi le premier puzzle et pour Gary Abramson pour avoir fourni une solution incroyablement concise au deuxième casse-tête.

1. Dans la première énigme, le groupe peut garantir que toutes les personnes sauf une survivront. La personne à l'arrière n'a aucune information sur la couleur de son chapeau. Elle utilisera donc sa seule supposition pour communiquer suffisamment d'informations afin que les neuf personnes restantes puissent déduire avec certitude la couleur de leur chapeau.

La personne à l’arrière comptera le nombre de chapeaux rouges qu’elle verra. Si c'est un nombre impair, ils crieront « rouge », et si c'est un nombre pair, ils crieront « bleu ». Maintenant, comment la personne suivante dans la file peut-elle déduire sa propre couleur de chapeau ? Ils voient huit chapeaux. Supposons qu'ils comptent un nombre impair de rouges devant eux ; ils savent que la personne derrière eux a vu un nombre pair de rouges (parce que cette personne a crié « bleu »). C'est suffisamment d'informations pour déduire que leur chapeau doit être rouge pour que le nombre total de rouges soit égal. La personne suivante sait également si la personne derrière elle a vu un nombre pair ou impair de chapeaux rouges et peut faire les mêmes déductions pour elle-même.

2. Pour le deuxième casse-tête, nous allons présenter une stratégie qui garantit la survie de tout le groupe, à moins que les 10 chapeaux ne soient rouges. Le groupe n'a besoin que d'une seule personne pour deviner correctement, et une mauvaise réponse les tue automatiquement tous. Ainsi, une fois qu'une personne a deviné une couleur (et refuse de passer), toutes les personnes suivantes passeront. L'objectif est que le chapeau bleu le plus proche de l'avant de la file devine « bleu » et que tous les autres passent. Pour y parvenir, tout le monde passera à moins qu'ils ne voient que des chapeaux rouges devant eux (ou si quelqu'un derrière eux a déjà deviné).

Pour comprendre pourquoi cela fonctionne, remarquez que la personne au fond de la file passera à moins qu'elle ne voie neuf chapeaux rouges, auquel cas elle devinera le bleu. S'ils disent bleu, alors tous les autres passent et le groupe gagne à moins que les dix chapeaux ne soient rouges. Si la personne à l’arrière passe, cela signifie qu’elle a vu un chapeau bleu devant elle. Si l'avant-dernière personne voit huit rouges devant elle, elle sait qu'il doit s'agir du chapeau bleu et devine donc le bleu. Sinon, ils passent. Tout le monde passera jusqu'à ce qu'une personne en tête de file ne voie que des chapeaux rouges devant elle (ou pas de chapeau dans le cas du devant de la file). La première personne dans cette situation devine le bleu.

La probabilité que les 10 chapeaux soient rouges est de 1/1 024, donc le groupe gagne avec une probabilité de 1 023/1 024.