La forme améliorée de « Vampire Einstein » résout enfin un problème de modèle mathématique vexant

En mars, un un groupe de mathématiciens a identifié une forme à treize côtés appelée « le chapeau » qui peut carreler une surface sans qu’aucun motif ne se répète. Maintenant, les chercheurs mettent à jour la forme pour conserver ses propriétés de carrelage originales tout en répondant à une mise en garde importante.

Le nouveau type de forme s’appelle un « spectre » et il’s ce qu’on appelle un monotile apériodique, ce qui signifie qu’une seule forme peut recouvrir une surface sans aucune symétrie de translation, ou sans que son motif ne se répète jamais. Le célèbre Carrelage Penrose sont un exemple de pavage apériodique, dans lequel le motif est apériodique mais utilise deux formes différentes. Le carrelage à chapeau découvert par les chercheurs il y a quelques mois à peine techniquement utilise une forme, sauf que pour carreler une surface, vous devez utiliser à la fois le chapeau et sa réflexion en miroir, ce qui signifie que vous aurez techniquement besoin de deux formes. Le spectre est décrit dans une nouvelle préimpression article de David Smith et de ses collègues.

« Dans le carrelage plan, il est tout à fait normal que les carreaux puissent être réfléchis ; néanmoins, certaines personnes étaient mécontentes que le chapeau monotile apériodique nécessite des réflexions pour carreler le plan », a écrit le co-auteur Joseph Samuel Meyers sur Mastodonte. « Dans notre nouvelle prépublication, nous présentons le Spectre, le premier exemple d’un vampire einstein : un monotile apériodique qui pave le plan sans reflets. »

Le carrelage en spectre n’utilise qu’une seule forme, un « einstein », qui signifie « une pierre » en allemand, pour carreler complètement une surface sans qu’aucune partie du motif ne se répète. Étant donné que le spectre n’a pas besoin d’être réfléchi comme le fait le chapeau, les chercheurs ont surnommé le forme comme un « vampire einstein » – une référence à la façon dont les suceurs de sang humanoïdes ne se présentent pas dans les miroirs.

Le chapeau est une forme polykite à 13 côtés composée de huit cerfs-volants reliés par leurs bords, et est mathématiquement appelé «monotile apériodique faiblement chiral», dans lequel à la fois la tuile et sa réflexion sont nécessaires pour carreler une surface sans répétition. Smith et ses collaborateurs ont trouvé une forme à 14 côtés avec des bords droits qui a également besoin de sa réflexion pour carreler une surface sans répéter aucun motif. Cependant, après avoir courbé chaque côté de la forme à 14 côtés, les chercheurs ont découvert que le spectre seul pouvait carreler une surface sans se répéter et l’appeler « monotile apériodique strictement chiral ».

Pour la plupart d’entre nous, la présence du spectre n’est pas à négliger, mais pour la communauté des mathématiques, elle répond à une énigme hypothétique de longue date en géométrie.