Quelle est la forme de l'univers?

Lorsque vous regardez votre environnement environnant, il peut sembler que vous vivez sur un avion plat. Après tout, c'est pourquoi vous pouvez naviguer dans une nouvelle ville à l'aide d'une carte: un morceau de papier plat qui représente tous les endroits qui vous entourent. C'est probablement pourquoi certaines personnes dans le passé croyaient que la terre était plate. Mais la plupart des gens savent maintenant que c'est loin de la vérité.

Vous vivez à la surface d'une sphère géante, comme une balle de plage de la taille de la terre avec quelques bosses ajoutées. La surface de la sphère et de l'avion sont deux espaces 2D possibles, ce qui signifie que vous pouvez marcher dans deux directions: le nord et le sud ou l'est et l'ouest.

Sur quels autres espaces possibles pourriez-vous vivre? Autrement dit, quels autres espaces autour de vous sont 2D? Par exemple, la surface d'un beignet géant est un autre espace 2D.

À travers un domaine appelé topologie géométrique, les mathématiciens comme moi étudient tous les espaces possibles dans toutes les dimensions. Que vous essayiez de concevoir des réseaux de capteurs sécurisés, des données de mines ou d'utiliser l'origami pour déployer des satellites, la langue et les idées sous-jacentes sont susceptibles d'être celles de la topologie.

La forme de l'univers

Lorsque vous regardez autour de l'univers dans lequel vous vivez, il ressemble à un espace 3D, tout comme la surface de la terre ressemble à un espace 2D. Cependant, tout comme la Terre, si vous regardiez l'univers dans son ensemble, cela pourrait être un espace plus compliqué, comme une version 3D géante de la surface du ballon de plage 2D ou quelque chose de plus exotique que cela.

Bien que vous n'ayez pas besoin de topologie pour déterminer que vous vivez sur quelque chose comme un ballon géant, sachant que tous les espaces 2D possibles peuvent être utiles. Il y a plus d'un siècle, les mathématiciens ont trouvé tous les espaces 2D possibles et bon nombre de leurs propriétés.

Au cours des dernières décennies, les mathématiciens ont beaucoup appris sur tous les espaces 3D possibles. Bien que nous n'ayons pas une compréhension complète comme nous le faisons pour les espaces 2D, nous en savons beaucoup. Avec ces connaissances, les physiciens et les astronomes peuvent essayer de déterminer dans quels espaces 3D vivent réellement.

Bien que la réponse ne soit pas complètement connue, il existe de nombreuses possibilités intrigantes et surprenantes. Les options deviennent encore plus compliquées si vous considérez le temps comme une dimension.

Pour voir comment cela pourrait fonctionner, notez que pour décrire l'emplacement de quelque chose dans l'espace – dites une comète – vous avez besoin de quatre nombres: trois pour décrire sa position et un pour décrire le temps où il est dans cette position. Ces quatre nombres constituent un espace 4D.

Maintenant, vous pouvez considérer quels espaces 4D sont possibles et dans lequel de ces espaces vivez-vous.

Topologie en dimensions plus élevées

À ce stade, il peut sembler qu'il n'y a aucune raison de considérer les espaces qui ont des dimensions supérieures à quatre, car c'est la dimension la plus imaginable qui pourrait décrire notre univers. Mais une branche de la physique appelée théorie des cordes suggère que l'univers a beaucoup plus de dimensions que quatre.

Il existe également des applications pratiques de la réflexion sur des espaces dimensionnels supérieurs, tels que la planification du mouvement du robot. Supposons que vous essayiez de comprendre le mouvement de trois robots se déplaçant dans une planche d'usine dans un entrepôt. Vous pouvez mettre une grille sur le sol et décrire la position de chaque robot par leurs coordonnées x et y sur la grille. Étant donné que chacun des trois robots nécessite deux coordonnées, vous aurez besoin de six nombres pour décrire toutes les positions possibles des robots. Vous pouvez interpréter les positions possibles des robots comme un espace 6D.

À mesure que le nombre de robots augmente, la dimension de l'espace augmente. L'impactation dans d'autres informations utiles, telles que les emplacements des obstacles, rend l'espace encore plus compliqué. Afin d'étudier ce problème, vous devez étudier les espaces de grande dimension.

Il existe d'innombrables autres problèmes scientifiques où des espaces à grande dimension apparaissent, de la modélisation du mouvement des planètes et des vaisseaux spatiaux pour essayer de comprendre la «forme» des grands ensembles de données.

Attaché en nœuds

Un autre type d'étude de topologistes à problèmes est de savoir comment un espace peut se trouver à l'intérieur d'un autre.

Par exemple, si vous tenez une boucle nouée de chaîne, nous avons un espace 1D (la boucle de chaîne) à l'intérieur d'un espace 3D (votre pièce). Ces boucles sont appelées nœuds mathématiques.

L'étude des nœuds est née d'abord de la physique mais est devenue un domaine central de la topologie. Ils sont essentiels à la façon dont les scientifiques comprennent les espaces 3D et 4D et ont une structure délicieuse et subtile que les chercheurs essaient toujours de comprendre.

De plus, les nœuds ont de nombreuses applications, allant de la théorie des cordes en physique à la recombinaison de l'ADN en biologie à la chiralité en chimie.

Sur quelle forme vivez-vous?

La topologie géométrique est un sujet magnifique et complexe, et il y a encore d'innombrables questions passionnantes à répondre sur les espaces.

Par exemple, la conjecture de Poincaré 4D lisse demande quel est l'espace 4D fermé «le plus simple», et la conjecture de ribbon de tranche vise à comprendre comment les nœuds dans les espaces 3D sont liés aux surfaces dans les espaces 4D.

La topologie est actuellement utile en science et en génie. Décroisser plus de mystères d'espaces dans toutes les dimensions sera inestimable pour comprendre le monde dans lequel nous vivons et résolvant des problèmes du monde réel.

John Etnyre, professeur de mathématiques, Georgia Institute of Technology

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